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二项式表达式有两个项。二项式展开允许你展开二项式表达式的幂。例如，在 \((a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\) 的展开中，项 \(a^2b^3\) 出现 \(\binom{5}{3}\) 次。这是因为你需要从5个括号中选择3个 \(b\) 项。你可以用 \(\binom{5}{3}\) 种方式做到这一点，所以当展开简化时，\(a^2b^3\) 项是 \(\binom{5}{3}a^2b^3\)。
二项式展开是：
\((a+b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{r}a^{n-r}b^r + \cdots + b^n\)
其中 \(\binom{n}{r} = {}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(n \in \mathbb{N}\) 表示 \(n\) 必须是自然数（所有正整数）
二项式展开的重要性质：
1. 展开式有 \(n+1\) 项
2. 每项的总指数为 \(n\)
3. 系数由组合数给出
4. 指数按降序排列
二项式定理 (Binomial Theorem)：
\((a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)
其中 \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
题目：使用二项式定理求 \((3-2x)^5\) 的展开式。
解答：
\((3-2x)^5 = 3^5 + \binom{5}{1}3^4(-2x) + \binom{5}{2}3^3(-2x)^2 + \binom{5}{3}3^2(-2x)^3 + \binom{5}{4}3^1(-2x)^4 + (-2x)^5\)
\(= 243 + 5 \times 81 \times (-2x) + 10 \times 27 \times 4x^2 + 10 \times 9 \times (-8x^3) + 5 \times 3 \times 16x^4 + (-32x^5)\)
\(= 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5\)
使用 \((a+b)^n\)，其中 \(a = 3\)，\(b = -2x\)，\(n = 5\)
题目：求以下二项式展开的前四项：
a) \((1+2x)^{10}\)
b) \((10-\frac{1}{2}x)^6\)
解答：
a) \((1+2x)^{10} = 1^{10} + \binom{10}{1}1^9(2x) + \binom{10}{2}1^8(2x)^2 + \binom{10}{3}1^7(2x)^3 + \cdots\)
\(= 1 + 10 \times 2x + 45 \times 4x^2 + 120 \times 8x^3 + \cdots\)
\(= 1 + 20x + 180x^2 + 960x^3 + \cdots\)
b) \((10-\frac{1}{2}x)^6 = 10^6 + \binom{6}{1}10^5(-\frac{1}{2}x) + \binom{6}{2}10^4(-\frac{1}{2}x)^2 + \binom{6}{3}10^3(-\frac{1}{2}x)^3 + \cdots\)
\(= 1000000 + 6 \times 100000 \times (-\frac{1}{2}x) + 15 \times 10000 \times \frac{1}{4}x^2 + 20 \times 1000 \times (-\frac{1}{8}x^3) + \cdots\)
\(= 1000000 - 300000x + 37500x^2 - 2500x^3 + \cdots\)
使用二项式定理时要注意：
题目：展开 \((2x+y)^6\)
解答：
\((2x+y)^6 = (2x)^6 + \binom{6}{1}(2x)^5y + \binom{6}{2}(2x)^4y^2 + \binom{6}{3}(2x)^3y^3 + \binom{6}{4}(2x)^2y^4 + \binom{6}{5}(2x)y^5 + y^6\)
\(= 64x^6 + 6 \times 32x^5y + 15 \times 16x^4y^2 + 20 \times 8x^3y^3 + 15 \times 4x^2y^4 + 6 \times 2xy^5 + y^6\)
\(= 64x^6 + 192x^5y + 240x^4y^2 + 160x^3y^3 + 60x^2y^4 + 12xy^5 + y^6\)
题目：在 \((1+3x)^8\) 的展开中，求 \(x^4\) 的系数。
解答：
\(x^4\) 项 = \(\binom{8}{4}1^4(3x)^4 = \binom{8}{4} \times 81x^4\)
\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70\)
因此 \(x^4\) 的系数 = \(70 \times 81 = 5670\)
题目：设 \(f(x) = (1+kx)^{10}\)，其中 \(k\) 是常数。已知 \(f(x)\) 的二项式展开中 \(x^3\) 的系数是15，求 \(k\) 的值。
解答：
\(x^3\) 项 = \(\binom{10}{3}1^7(kx)^3 = \binom{10}{3}k^3x^3 = 15x^3\)
\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\)
因此 \(120k^3 = 15\)
\(k^3 = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}\)
\(k = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\)
通过本节的学习，你应该能够：